Geometria Plana - Exercício 14

 Um círculo de raio 10 cm está inscrito em um triângulo equilátero de forma que cada vértice do triângulo seja um ponto de tangência com a circunferência. Calcule a área da região sombreada, conforme mostrado na figura abaixo:

[Inserir uma figura com o círculo inscrito no triângulo equilátero, com a região sombreada.]

a) $25�-50\sqrt{3}$ cm² b) $50�-25\sqrt{3}$ cm² c) $75�-100\sqrt{3}$ cm² d) $100�-75\sqrt{3}$ cm² e) $125�-150\sqrt{3}$ cm²

Para resolver essa questão, você precisará calcular a área do triângulo equilátero e a área do círculo, além de subtrair a área não sombreada da área total do triângulo. Boa sorte!

Resolução:

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado "L" é ${�}_{���}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {�}^2$.

Nesse caso, o círculo está inscrito no triângulo, ou seja, os pontos de tangência dividem cada lado do triângulo em dois segmentos iguais, e cada um desses segmentos é um raio do círculo. Isso implica que o lado do triângulo é igual a $2\times 10=20$ cm.

Calculando a área do triângulo equilátero:

${�}_{���}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 20^2=100\sqrt{3}$ cm².

Agora, vamos calcular a área do círculo. A fórmula para a área do círculo é ${�}_{����}=�\times {�}^2$, onde $�$ é o raio do círculo, que é 10 cm.

${�}_{����}=�\times 10^2=100�$ cm².

A área da região sombreada é a área total do triângulo menos a área do círculo:

Área sombreada = ${�}_{���}-{�}_{����}=100\sqrt{3}-100�$ cm².

Agora, vamos simplificar a expressão:

Área sombreada = $100(\sqrt{3}-�)$ cm².

A alternativa correta é:

a) $25�-50\sqrt{3}$ cm²