Análise Combinatória - Exercício 11

Em uma competição de matemática, um professor precisa escolher uma equipe de 3 alunos para representar a escola em uma olimpíada. Se a escola possui 5 alunos muito talentosos (A, B, C, D e E), quantas equipes diferentes o professor pode formar?

a) 5 equipes
b) 10 equipes
c) 7 equipes
d) 3 equipes
e) 8 equipes

Resolução:

O problema trata de escolher uma equipe de 3 alunos a partir de um grupo de 5 alunos. Isso é um problema de combinação, já que a ordem em que os alunos são escolhidos não importa.

A fórmula para calcular combinações é dada por:

$�(�,�)=\frac{�!}{�!(�-�)!}$

Onde:

• $�$ é o número total de elementos (alunos no caso).
• $�$ é o número de elementos que estamos escolhendo (vagas na equipe).

Neste caso, temos $�=5$ (pois há 5 alunos) e $�=3$ (pois queremos formar uma equipe de 3 alunos).

Vamos calcular a combinação:

$�(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}=10$

Isso significa que há 10 maneiras diferentes de escolher uma equipe de 3 alunos a partir dos 5 alunos disponíveis.

Agora, vamos relacionar esse resultado com as alternativas:

a) 5 equipes b) 10 equipes (correta) c) 7 equipes d) 3 equipes e) 8 equipes

A alternativa correta é a letra b) "10 equipes", que coincide com o cálculo que realizamos. Portanto, a resposta correta é a alternativa b).